Eine Anatomie Der Handelsstrategien Conrad

Die Profitabilität der Impulshandelsstrategien: Empirische Evidenz aus Hongkong Joseph W. Cheng a. . , Hiu-fung Wu b. Ein Ministerium für Finanzen, die chinesische Universität Hongkong, Shatin, New Territories, Hongkong b Asien Pazifik Produktkontrolle, Citigroup Global Markets Asia Limited, Citibank Tower, Citibank Plaza, 3 Garden Road, Central, Hongkong erhielt 6. Mai 2004, Überarbeitet am 31. Januar 2006, Akzeptiert 7. Februar 2006, Online verfügbar 25 März 2010Dieses Papier untersucht, ob die Impuls-Handelsstrategien am Hong Kong-Aktienmarkt rentabel sind und untersucht die Quellen dieser Rentabilität. Momentum-Portfolios sind in der Zwischenzeit in Hongkong erheblich rentabel, aber die Gewinne werden nach Risikoanpassung durch das Chordia - und Shivakumar-Modell (2001) unwesentlich. Die bestandsbezogene Renditestrategie und die faktorbezogene Renditestrategie werden analysiert, um zu untersuchen, welcher Teil der Gesamtrendite dazu führt, dass Aktien in extreme Portfolios eintreten. Die Chordia - und Shivakumar-Faktor-bezogene Renditestrategie erzielt Gewinne mit einer Größenordnung, die nahe dem ist, was durch die Gesamtrendite-Impulsstrategie erreicht wird. Zusätzliche Beweise unterstützen ferner die Ansicht, dass das Chordia - und das Shivakumar-Modell Impulsgewinne erfassen. JEL-Klassifizierung Momentum-Handel Aktienspezifische Renditestrategie Factor-bezogene Renditestrategie Riskierte Rendite Hongkong-Aktienmarkt Entsprechender Autor. Tel. 852 2609 7904 Fax: 852 2603 6586. Copyright-Kopie 2010 Elsevier Inc. Alle Rechte vorbehalten. Cookies werden von dieser Website verwendet. Weitere Informationen finden Sie auf der Cookieseite. Copyright 2017 Elsevier B. V. oder seine Lizenzgeber oder Mitwirkenden. ScienceDirect ist ein eingetragenes Warenzeichen von Elsevier B. V.An Anatomie der Handelsstrategien Jennifer S. Conrad Universität von North Carolina Kenan-Flagler Geschäftsschule Gautam Kaul Universität von Michigan, Stephen M. Ross Schule von Geschäft ÜBERPRÜFUNG DER FINANZBESTÄNDE Vol. 11, Nr. 3 Kurzfassung: In diesem Papier verwenden wir ein einziges einheitliches Rahmenwerk, um die Ertragsquellen auf ein breites Spektrum rücklaufbezogener Handelsstrategien in der Literatur zu analysieren. Wir zeigen, dass weniger als 50 Prozent der im Papier umgesetzten 120 Strategien statistisch signifikante Gewinne erzielen und bedingungslos auch Impuls - und Contrarisierungsstrategien gleichermaßen erfolgreich sind. Wenn wir jedoch auf den Renditehorizont (kurz, mittel oder lang) der Strategie oder die Zeitspanne, in der sie implementiert sind, bedingen, ergeben sich zwei Muster. Eine Impulsstrategie ist in der Regel auf dem mittleren (drei - bis zwölfmonatigen) Horizont rentabel, während eine kontradiktorische Strategie statistisch signifikante Gewinne im Langzeithorizont aufnimmt, allerdings nur während der Subperiode 1926-1947. Noch wichtiger ist, dass unsere Ergebnisse zeigen, dass die Querschnittsveränderung der durchschnittlichen Renditen einzelner Wertpapiere, die in diesen Strategien enthalten sind, eine wichtige Rolle bei der Rentabilität der Strategien spielt. Die Querschnittsvariation kann potentiell für die Profitabilität von Impulsstrategien verantwortlich sein und ist auch verantwortlich für die Dämpfung der Gewinne von Preissenkungen bis hin zu langfristigen kontradiktorischen Strategien. JEL Klassifizierung: G12 Datum der Veröffentlichung: 15. Juni 1998 Vorgeschlagenes Zitat Conrad, Jennifer S. und Kaul, Gautam, Eine Anatomie der Handelsstrategien. ÜBERPRÜFUNG DER FINANZSTUDIEN Bd. 11, Nr. 3. Verfügbar bei SSRN: ssrnabstract95168489 - Eine Anatomie der Handelsstrategien Jennifer Conrad. Dies ist das Ende der Vorschau. Melden Sie sich für den Rest des Dokuments. Unformatierte Text-Vorschau: Eine Anatomie der Trading-Strategien Jennifer Conrad Universität von North Carolina Gautam Kaul Universität von Michigan In diesem Artikel verwenden wir ein einziges einheitliches Framework, um die Quellen von Prots zu einem breiten Spektrum von Returnbased Handelsstrategien in der Literatur umzusetzen. Wir zeigen, dass weniger als 50 der in dem Artikel umgesetzten 120 Strategien statistisch signikante Prostate liefern und bedingungslos Impuls - und Contrarian-Strategien gleichermaßen erfolgreich sind. Wenn wir jedoch auf den Rückkehrhorizont (kurz, mittel oder lang) der Strategie oder des Zeitraums, in dem sie implementiert sind, bedingen, ergeben sich zwei Muster. Eine Impulsstrategie ist in der Regel am mittleren (3- bis 12-monatigen) Horizont zu bewältigen, während eine kontradiktorische Strategie statistisch signikante Profite an langen Horizonten, aber nur während der Subperiode von 1926 1947 verwaltet. Noch wichtiger ist, dass unsere Ergebnisse zeigen, dass die Querschnittsänderung der durchschnittlichen Renditen der einzelnen Wertpapiere, die in diesen Strategien enthalten sind, eine wichtige Rolle in ihrer Beweglichkeit spielt. Wir danken Jonathan Berk, Elazar Berkowitsch, Kobi Boudoukh, Gene Fama, Michael Ferguson, Julian Franks, Thomas George, Richard Green, Mustafa G Die von der University of Arizona, der University of British Columbia, der University of Arizona, der University of British Columbia, der University of Arizona, der Universität von North Carolina, Universität von Notre Dame, Universität von Utah, die Winter-Finanzkonferenz an der University of Utah, die American Finance Association Meetings, San Francisco und die Summer Finance Seminar an der Tel Aviv University für hilfreiche Kommentare und Anregungen. Wir sind besonders dankbar für einen anonymen Schiedsrichter und Bob Korajczyk und Ravi Jagannathan, der uns dabei behilflich war, uns auf die wichtigsten Themen in diesem Artikel, Michael Cooper für seine unschätzbare Forschungsarbeit und Sonja Dodenbier für die Hilfe bei der Vorbereitung dieses Manuskripts zu konzentrieren. Teilfinanzierung für dieses Projekt wird von der Kenan-Flagler Business School, University of North Carolina und der University of Michigan Business School zur Verfügung gestellt. Adresse Korrespondenz zu Gautam Kaul, Department of Finance, Universität von Michigan Business School, Ann Arbor, MI 48109-1234. Der Bericht der Finanzstudien Herbst 1998 Bd. 11, Nr. 3, S. 489519 c 1998 Die Gesellschaft für Finanzwissenschaften Die Bilanz der Finanzstudien v 11 n 3 1998 Die Auswirkungen von Preisauflösungen auf langfristige, kontradiktorische Strategien. Handelsstrategien, die scheinbar den Markt schlagen, reichen zurück bis zur Gründung des Handels mit Finanzanlagen. Eine Reihe von Praktikern und Akademikern in der Pre-Market-Effizienz-Ära (d. H. Vor 1960) glaubte, dass vorhersehbare Muster in Aktienrenditen zu anomalen Projekten auf Handelsstrategien führen könnten. In der Tat, Keynes (1936) faßte kurz zusammenfassen die Ansichten von vielen mit der Feststellung, dass die meisten Investoren Entscheidungen getroffen werden können nur als Folge von Tiergeistern. In den letzten Jahren hat es ein dramatisches Wiederaufleben des akademischen Interesses an der Vorhersagbarkeit von Vermögenswertrenditen gegeben, die auf ihrer Vergangenheit basieren. Bezeichnenderweise argumentieren eine wachsende Zahl von Forschern, dass Zeitreihenmuster in Rückschlägen auf Marktinfizienten beruhen und folglich konsequent in abnormale Proteste umgesetzt werden können.1 Die Artikel analysieren im Großen und Ganzen zwei Strategien, die in der Philosophie und der Ausführung eindeutig entgegengesetzt sind: Die konträren Strategie, die auf Preisumkehrungen und die Impulsstrategie beruht, die auf Preisfortsätzen (oder Impulsen bei den Vermögenspreisen) beruht. Bis vor kurzem gab es relativ stärkere Betonung konträrer Strategien, aber es gibt wachsende Beweise dafür, dass Preisfortschritte zu konsistenten abnormalen Projekten in Impulsstrategien führen. Eines der verblüffendsten Aspekte dieser Literatur ist, dass diese beiden diametral entgegengesetzten Strategien gleichzeitig funktionieren, wenn auch für unterschiedliche Investitionshorizonte. Für die kurzfristigen (wöchentlichen, monatlichen) und langfristigen (3- bis 5-jährigen oder längeren) Intervalle sind die kontradiktorischen Strategien offenbar annehmbar, während die Impulsstrategie für mittelfristige (3- bis 12- Monat) Haltedauer. In diesem Artikel versuchen wir, die Quellen der erwarteten Gewinne der gesamten Klasse von Handelsstrategien zu bestimmen, die auf Informationen beruhen, die in früheren Renditen einzelner Wertpapiere enthalten sind. Die Stärke unserer Analyse besteht darin, dass wir einen einzigen Rahmen verwenden, der auf den Analysen von Lehmann (1990) und Lo und MacKinlay (1990) aufbaut, um die Güter aller Strategien, Gegensätze oder Impulse und kurzfristig und langfristig zu zersetzen. Diese Zersetzung ist wichtig, weil die Strategien, die auf der Grundlage von Prots auf Handelsstrategien basieren, auf früheren Analysen der Sicherheitsrenditen beruhen, unter anderem auf Alexander (1961, 1964), Cootner (1964), Fama (1965, 1970), Fama und Blume (1966), Levy (1967), Van Horne und Parker (1967), James (1968) und Jensen und Bennington (1970). Einige der zahlreichen Artikel, die sich mit der Rückkehrvorhersagbarkeit befassen, sind Conrad und Kaul (1988), Fama und French (1988), Lo und MacKinlay (1988), Porterba and Summers (1988), Campbell, Grossman und Wang 1993), Richardson (1993), Boudoukh, Richardson und Whitelaw (1994), Conrad, Hameed und Niden (1994) und Jones (1994) beschrieben. (1985), Sweeney (1988), Jegadeesh (1990), Lehmann (1990), Lo und MacKinlay (1990) zeigen, dass es sich hierbei um die offensichtliche Beweglichkeit handelnder Strategien handelt ), Levich und Thomas (1991), Brock, Lakonishok und LeBaron (1992), Chopra, Lakonishok und Ritter (1992), Allen und Karjalainen (1993), Jegadeesh und Titman (1993, 1995a) und Asness (1994). Kaul (1997) liefert eine Übersicht über die empirischen Methoden, die verwendet werden, um die Rückkehrvorhersagbarkeit aufzudecken. 490 Eine Anatomie der Handelsstrategien Wertpapiere der vergangenen Performance enthalten zwei Komponenten: eine, die aus der Zeitreihenvorhersagbarkeit in den Sicherheitsrenditen resultiert, und eine andere, die aufgrund der Querschnittsänderung der mittleren Renditen der das Portfolio umfassenden Wertpapiere entsteht. Die meisten renditebasierten Handelsstrategien, die in der Literatur umgesetzt werden, beruhen ausschließlich auf der Existenz von Zeitreihenmustern in Renditen. Speziell alle diese Strategien basieren auf der Prämisse, dass die Aktienkurse nicht zufällig begegnen. Jedoch enthalten die tatsächlichen Prots zu den handelnden Strategien, die auf der Grundlage der vergangenen Performance implementiert werden, eine Querschnittskomponente, die sich ergeben würde, selbst wenn die Aktienkurse völlig unberechenbar sind und zufällige Wege folgen. Betrachten wir beispielsweise eine Impulsstrategie. Der wiederholte Kauf von Gewinnern aus dem Erlös aus dem Verkauf von Verlierern wird im Durchschnitt dem Kauf von hochmediären Wertpapieren aus dem Verkauf von Mittelwerten entsprechen. Folglich wird, solange es eine gewisse Querschnittsdispersion in den mittleren Renditen des Universums der Wertpapiere gibt, eine Impulsstrategie protable sein. Umgekehrt wird eine kontradarische Strategie im Durchschnitt sogar in einer Welt, in der die Aktienkurse zufälligen Wanderungen folgen, unprotable sein. Es ist wichtig, die Quellen der offensichtlichen Beweglichkeit von Handelsstrategien zu bestimmen, weil (i) die explizite Annahme in der Literatur, dass Zeitreihenmuster in Aktienkursen die einzige Basis für renditebasierte Handelsstrategien bilden, und (ii) Mangel an Vorhersagbarkeit bei Aktienrenditen wird von einigen als gleichbedeutend mit Marktwirkungsgrad gesehen, siehe Fama (1970, 1991). Wir implementieren und analysieren ein breites Spektrum von Handelsstrategien während des Zeitraums 19261989 und in Teilperioden innerhalb der gesamten Stichprobe der verfügbaren NYSEAMEX-Wertpapiere. Speziell analysieren wir acht grundlegende Strategien mit Halteperioden zwischen 1 Woche und 36 Monaten. Wir stellen fest, dass 55 von 120 Handelsstrategien, die unter Verwendung aller NYSEAMEX-Wertpapiere implementiert wurden, statistisch signikante Pros zeigen. Die unbedingten Wahrscheinlichkeiten des Erfolgs von Impuls - und Contrarian-Strategien sind annähernd gleich: von den 55 statistisch protable Strategien, 30 sind Impuls, während 25 kontroverse Strategien sind. Noch wichtiger ist, dass, wenn wir eine Ex-post-Bedingung auf den Renditehorizont der Strategie und oder den Teilzeitraum haben, in dem sie implementiert ist, zwei Muster entstehen, die mit der Literatur über Renditebasierte Handelsstrategien übereinstimmen, siehe z. B. DeBondt und Thaler (1985) und Jegadeesh und Titman (1993). Die Impulsstrategie netzet sich in der Regel positiv und häufig statistisch signikant, Prots bei mittleren Horizonten, außer während der Subperiode 19261947, während eine Contrarian-Strategie bei langen Horizonten erfolgreich ist, obwohl die Prots zu diesen Strategien nur während der Subperiode von 19261947 statistisch signikant sind. Eine empirische Zersetzung der Prots der Strategien deutet darauf hin, dass die Querschnittsänderung der durchschnittlichen Renditen der einzelnen Wertpapiere, die in der Strategie enthalten sind, eine wichtige Determinante ihrer Beweglichkeit ist. Speziell können wir die Hypothese nicht ablehnen, dass die In-Stichprobenquote die Proportabilität von Impulsstrategien erklären kann. Die Querschnittsdispersion im Mittelrücklauf scheint auch für die Mangelhaftigkeit statistisch protifizierbarer Kontraktionsstrategien verantwortlich zu sein. Obwohl wir bei nahezu allen Horizonten konsequent statistisch signikante Preisumkehrungen beobachten, werden die von diesen Umkehrungen ausgehenden Proteste typischerweise durch die Verluste aufgrund der großen Querschnittsabweichung der Mittelrenditen neutralisiert. Folglich werden statistisch signikante Nettoprothesen zu konträren Strategien nur in der ungewöhnlichen Subperiode von 19261947 beobachtet. Es ist wichtig zu beachten, dass unsere Zerlegung von Handelsproten auf der Annahme einer durchschnittlichen Stationarität der Renditen einzelner Wertpapiere während der Periode basiert, in der die Strategien umgesetzt werden. Außerdem werden die mittleren Renditen für einen breiten Querschnitt von rms mit einem nite Satz von Zeitreihen-Beobachtungen geschätzt, was zu einer Übertreibung der Bedeutung der Querschnittsänderung der mittleren Renditen führt. Um die Robustheit unserer empirischen Zersetzung der Handelsstrategien zu beurteilen, führen wir Bootstrap - und Monte-Carlo-Simulationen der mittelfristigen (3 bis 12 Monate) Strategien durch, in denen wir versuchen, die Zeitreihe-Eigenschaften von Sicherheitsrenditen zu eliminieren, während wir aufrechterhalten Ihre unbedingten Querschnittsmerkmale. Die Ergebnisse der Simulationen stimmen mit der Hypothese überein, dass die Momente der Impulsstrategien weitgehend auf die Querschnittsänderung der mittleren Renditen zurückzuführen sind. Unsere Monte Carlo-Experimente legen auch nahe, dass unsere Ergebnisse robust sind, um extreme In-Sample-Mittelwerte auszuschließen. Schließlich stellen wir einige alternative Schätzungen der relativen Wichtigkeit der Querschnittsvariation der mittleren Renditen bei der Erzeugung der Handelsstrategien vor. Selbst die konservativsten Schätzungen deuten darauf hin, dass die Querschnittsvariation der Mittelrenditen eine nichttriviale Determinante der Protabilität der Handelsstrategien ist. Es ist klar, dass unterschiedliche Spezifikationen für die erwarteten Renditen einzelner Wertpapiere unsere Schlussfolgerungen verändern könnten. Darüber hinaus können Händler die Querschnittsvariation in den mittleren Renditen als eine Quelle von anormalen Prots sehen. Wir versuchen nicht, die quellenübergreifende Veränderung der Durchschnittsrenditen zu analysieren, dh rational oder irrational zu analysieren, dh wir versuchen nicht, Querschnittsunterschiede bei den durchschnittlichen Renditen anhand eines Asset-Pricing-Modells zu erläutern. Unser Ziel ist es, die relative Bedeutung von Querschnitts - und Zeitreihen-Eigenschaften von Vermögensrenditen bei der Bestimmung der Beweglichkeit von Handelsstrategien zu bestimmen. Wir sind der Auffassung, dass unsere Analysen und Ergebnisse sowohl für technische Händler als auch für Hersteller von Asset-Pricing-Modellen von Interesse sein sollten. Abschnitt 1 enthält eine Beschreibung der Handelsstrategien, die in diesem Artikel umgesetzt werden, und ihre Beweglichkeit bei Anwendung auf NYSEAMEX-Wertpapiere in verschiedenen Zeiträumen. In den Abschnitten 2 und 3 stellen wir eine detaillierte Analyse der Zersetzung der Prots der Strategien vor. Abschnitt 4 enthält eine kurze Zusammenfassung und unsere Schlussfolgerungen. 492 Eine Anatomie der Handelsstrategien 1. Die Protabilität von Handelsstrategien Wir betrachten eine Reihe von Handelsstrategien, die das Wesen der zuvor umgesetzten Strategien explizit nachahmen oder erfassen. Speziell betrachten den Kauf oder Verkauf von Aktien zum Zeitpunkt t & sub1; basierend auf ihrer Leistung vom Zeitpunkt t & sub2; bis t & sub1 ;, wobei die Periode ein nites Zeitintervall überspannt. Ferner wird davon ausgegangen, dass die Wertentwicklung einer Aktie relativ zur durchschnittlichen Performance aller Aktien, die in der Handelsstrategie verwendet werden, ermittelt wird. Folglich wird, wenn das gesamte Universum von Vermögenswerten in die Strategie einbezogen wird, jede Wertentwicklung der Aktie im Verhältnis zur Rendite des gleichgewichteten Marktportfolios, Rmt, gemessen. Schließlich lasse ich den Bruchteil des Handelsstrategieportfolios, der der Sicherheit gewidmet ist, bezeichnen, siehe Lehmann (1990) und Lo und MacKinlay (1990), dh wit 1 (k) 1 Rit 1 (k) Rmt 1 (k) N (1) wobei Rit 1 (k) die Rendite der Sicherheit i zum Zeitpunkt t 1, i 1 ist. N. Rmt 1 (k) ist die Rendite des gleichgewichteten Portfolios aller Wertpapiere und k die Länge der Zeit Intervall. Da die Gewichte vollständig auf Information zum Zeitpunkt t 1 basieren, hat wit 1 einen Index von t 1. Der Ausdruck für die Gewichte in Gleichung (1) erfasst kurz die Philosophie aller return-basierten Handelsstrategien. Erstens, das positive oder negative Vorzeichen, das dem Ausdruck auf der rechten Seite vorangeht, beleuchtet einen Anleger (Institutionen) Überzeugungen, das heißt, ob der Investor glaubt an Preisfortsetzungen oder Umkehrungen (und empfiehlt daher und oder folgt einem Momentum oder einer kontroversen Strategie). Zweitens ist anzumerken, dass unabhängig davon, ob eine Strategie konträr oder Impuls ist, die Prämisse ist, dass ihr Erfolg auf dem Zeitreihenverhalten der Vermögenspreise basiert. Speziell soll die Wertentwicklung eines Wertpapiers im Vergleich zu einem Vergleichsindex (z. B. die durchschnittliche Rendite des Portfolios aller Wertpapiere) über die zukünftigen Innovationen der Sicherheitspreise informiert sein. Dies ist im Gegensatz zum zufälligen Modellmodell der Aktienkurse, das impliziert, dass Änderungen der Aktienkurse völlig unvorhersehbar sind (siehe Abschnitt 2 für weitere Details). Drittens werden die Dollargewichte in Gleichung (1) d. h. w1t 1 (k). W N t 1 (k) zu einem Arbitrage - (Null-Kosten-) Portfolio durch Konstruktion N wit 1 (k) 0 k führen. (2a) i 1 und die Dollar-Investition long (oder short) durch It 1 (k) 1 2 N wit 1 (k) gegeben. Viertens, da die Gewichte in Gleichung (1) proportional zum absoluten Wert der Abweichungen einer Wertpapierrendite aus der Rendite eines gleichgewichteten Portfolios aller sind Wertpapiere erfassen sie die allgemeine Überzeugung, dass extreme Kursbewegungen von extremen Bewegungen gefolgt werden, siehe z DeBondt und Thaler (1985), Lehmann (1990), Lo und MacKinlay (1990) und Jegadeesh und Titman (1993). Schließlich und vor allem die Gewichte in Gleichung (1) erlauben es uns, die Gewinne der Handelsstrategien, wie Lehmann (1990) und Lo und MacKinlay (1990), ohne Rücksicht auf die inhärente Natur der Strategie (z Ist eine konträre oder eine Impulsstrategie). Dies wiederum erlaubt uns, die relative Wichtigkeit der verschiedenen Komponenten zu bestimmen.2 Die realisierten Protagonisten zum Zeitpunkt t. T (k) zu den durch die Gewichte in Gleichung (1) implizierten Handelsstrategien gegeben durch Nt (k) wit 1 (k) Rit (k). (3) i 1 Da alle Strategien, die in diesem Artikel (und typischerweise in der Literatur) betrachtet werden, Null-Kosten-Strategien sind, werden nur die Dollar-Prots (und nicht die Renditen) wie in Gleichung (3) geleugnet. Und wenn die Märkte reibungslos sind, können die Gewichte beliebig skaliert werden, um jede Stufe von Prots zu erhalten. Wir werden daher weitgehend auf das Vorzeichen und die statistische Signik der Mittelwerte der Zeitreihen der t (k) s zurückgreifen, dh wir untersuchen, ob die erwarteten Protes statistisch signikant positiv (oder negativ) sind. Tabelle 1 enthält durchschnittliche Erwartungen für Handelsstrategien, die während verschiedener Zeitperioden und für verschiedene Haltedauer (d. h. verschiedene k) implementiert werden. Wir betrachten v Zeitabschnitte: 19621989 19261989 und drei gleichgroße Teilperioden innerhalb der 19261989 Periode (Januar 1926 April 1947, Mai 1947August 1968, September 1968December 1989). Wir setzen die Strategien für die 19621989-Periode ein, weil sie dem Zeitraum entsprechen, der in früheren Studien verwendet wurde, z. B. Lehmann (1990), Lo und MacKinlay (1990) und Jegadeesh und Titman (1993). Der Zeitraum von 1926-1989 wird für alle bis auf die wöchentliche Halteperiode verwendet, da er ein viel längeres Zeitintervall umfasst und dieses Intervall (und die darin enthaltenen Teilperioden) eine Robustheitskontrolle für die mögliche Prototabilität von Handelsstrategien bereitstellen. Wir verwenden acht verschiedene Haltedauer k. Wobei k reicht von 1 Woche 2 Jegadeesh und Titman (1993) verwenden eine Variante dieser Strategie, in der Wertpapiere auf der Grundlage ihrer bisherigen Wertentwicklung bewertet werden und dann in 10 Portfolios zusammengefasst werden, die für einen bestimmten Zeitraum gehalten werden. Ein Arbitrage-Portfolio wird auch durch den Kauf der Top-Performer und den Verkauf der schlechtesten Performer gebildet. Sie stellen fest, dass die Korrelation zwischen der Rückkehr zu der Strategie, die in diesem Artikel verwendet wird und ihre Arbeit ist 0,95 aber die Glieder ihrer Strategie kann nicht leicht zersetzt werden. Wir folgen dem in Gleichung (1) implizierten Gewichtungsschema, zumal eine Zerlegung der Prote von zentraler Bedeutung für diesen Artikel ist. Die Gewichte in Gleichung (1) behalten jedoch die gleiche Philosophie wie die andere Rendite-Strategie. 494 Eine Anatomie der Handelsstrategien Tabelle 1 Durchschnittliche Handlungsstrategien für verschiedene Horizonte und Zeiträume Strategieintervall Subperioden (19261989) (I) 19261946 (II) 19471967 (III) 19681989 19621989 19261989 0,035 (23,30) 3 Monate 0,027 (0,67) 0,165 ( (0,3) 0,333 0,333 (4,97) 0,273 (3,63) 9 Monate 0,708 (5,81) 0,488 (5,48) 0,276 (1,37) 0.487 (5.09) 0.634 (5.44) 12 Monate 0.701 (4.64) 0,198 (1,29) 0,557 (-1,44) 0,371 (3,70) 18 Monate 0,094 (0,35) 0,761 (2,88) 2,466 (3,49) 0,117 (0,77) 0,444 (1,51) 24 Monate 0,501 (0,97) 1,181 (2,98) 2,831 (2,92) 0,434 (1,62) 0,792 (1,54) 36 Monate 3,304 (3,39) 4,176 (6,48) 7,727 (6,08) 0,922 (1,24) 0,873 (0,84) Tabelle enthält durchschnittliche Prots zu Null-Cost-Trading-Strategien, die NYSEAMEX Gewinner zu kaufen und verkaufen Verlierer auf der Grundlage ihrer bisherigen Performance im Vergleich zu der Leistung eines gleichgewichteten Index aller Aktien. Die Dollar-Protes sind gegeben durch t (k) iN 1 wit 1 (k) Rit (k) i 1. N. Dabei ist t (k) der Dollar prot zum Zeitpunkt t aus einer k-Periodenhandelsstrategie, 1 1N Witz 1 (K) N Rit 1 (k) Rmt 1 (k) und Rmt 1 (k) N i 1 Rit 1 (k), wobei k 1 Woche und 3, 6, 9, 12, 18, 24 und 36 Monate . Die Zahlen in Klammern sind z-Statistiken, die asymptotisch N (0, 1) unter der Nullhypothese sind, dass wahre Prote null sind und robust gegenüber Heterosedastizität und Autokorrelation sind und für jede Kreuzkorrelation in den realisierten Strategien innerhalb eines Horizonts verantwortlich sind (Kurzer, mittlerer oder langer Horizont) von Strategien. Alle Prot Schätzungen werden mit 100. bis 36 Monaten multipliziert. Für die Kürze implementieren wir Strategien, für die die Länge der vergangenen Performance-Bewertungsperioden und die zukünftigen Haltedauer identisch sind. Wenn wir zum Beispiel eine Wertpapierleistung in den letzten 3 Monaten bewerten, beträgt die Haltedauer der Handelsstrategie ebenfalls 3 Monate. Wegen der Datenverfügbarkeitsbetrachtungen implementieren wir die wöchentliche Handelsstrategie nur während der 19621989 Periode. Um kleine Stichprobenvorhersagen in Schätzern der Komponenten der Handelsstrategien (siehe Anhang) zu minimieren und die Leistungsfähigkeit unserer Tests zu erhöhen, implementieren wir Handelsstrategien für überlappende Haltedauer auf einer monatlichen Frequenz (für alle k außer k 1 Woche). Speziell bestimmen wir die Gewichte, wit 1 (k). Zum Zeitpunkt t & sub1; für alle verschiedenen ks auf der Basis der Rückkehr von der Zeit t & sub2; bis t & sub1 ;. Die verschiedenen Haltedauerstrategien können daher verschiedene Sätze von Wertpapieren enthalten. Wir berechnen dann die realisierten Prots zum Zeitpunkt t mit Gleichung (3) für jedes k. Um mögliche Überlebensvorhersagen zu vermeiden, siehe z. B. Brown, Goetzmann und Ross (1995) verlangen wir nicht, dass alle zum Zeitpunkt t 1 in einer bestimmten Strategie enthaltenen Wertpapiere zum Zeitpunkt t auch Preise aufweisen. Wenn ein Wertpapier in eine ak-Periodenstrategie auf der Basis seiner bisherigen k-Periodenperformance einbezogen wird, wird es für weniger als k Perioden in der Zukunft (vgl Eine (kj) Periodenrückkehr bei der Berechnung von t (k), wobei j die Periode des Delistings ist. Die Schätzungen in Tabelle 1 sind die Zeitreihen-Mittelwerte für jedes k. Der Prots zu jedem Zeitpunkt t. T (k). Schließlich setzen wir, da die Protes of Impuls (contrarian) Strategien genau den Verlusten von contrarian (Impuls) Strategien entsprechen, nach den Gleichungen (1) und (3) nur Impulsstrategien (dh wir verwenden die Gewichte 1 wit 1 N Rit 1 (K) Rmt & sub1; (k) k). Folglich impliziert eine positive (negative) Schätzung in Tabelle 1, dass im Durchschnitt eine Impuls (contrarian) Strategie protable ist. Tabelle 1 enthält auch die z - Statistik in Klammern, um die statistische Signizität der durchschnittlichen Prots (Verluste) zu testen. Diese Statistiken sind asymptotisch N (0, 1) unter der Nullhypothese, dass die wahren Prots null sind. Wir verwenden eine allgemeine Methode der Momente siehe Hansen (1982) Verfahren, um Standard-Fehler zu berechnen. Bei dieser Vorgehensweise werden Querschnittskorrelationen (innerhalb einer bestimmten Zeitperiode) in den realisierten Projekten von Mehrfachstrategien innerhalb der Mittel - und Langzeitklassen berücksichtigt und Standardfehler bereitgestellt, die gegenüber Heterosedastizität und Autokorrelation robust sind. Mehrere interessante Merkmale der Protabilität von Handelsstrategien ergeben sich aus einer Inspektion von Tabelle 1. Erstens sind die Anzahl der positiven und negativen Schätzungen der durchschnittlichen Prots genau die gleichen 18 versus 18. Daher sind unbedingt Impuls - und konträre Strategien gleichermaßen wahrscheinlich (Zumindest auf der Grundlage der 36 in Tabelle 1 bewerteten Strategien). Dieses nding ist bemerkenswert, da Impuls - und Contrarian-Strategien (wie in der Einleitung erwähnt) in der Philosophie diametral entgegengesetzt sind. Zweitens sind 21 der 36 Handelsstrategien statistisch signikant rentabel, die Zahl der statistisch signikanten Kontraste gegen die Impulsstrategien ist etwa gleich, 11 gegenüber 10. Drittens, sobald wir auf dem Rücklaufhorizont und der Zeitperiode konditionieren, verschwinden jedoch die Ähnlichkeiten zwischen Kontraktions - und Impulshandelsstrategien. Speziell gibt es eine systematische Beziehung zwischen dem Horizont der Strategie und der Handelsphilosophie, die zu funktionieren scheint. Eine Impulsstrategie ist üblicherweise auf dem mittleren (3- bis 12-monatigen) Horizont zu bewältigen: Von den 20 mittelfristigen Strategien, die in Tabelle 1 berichtet werden, ist eine Impulsstrategie in 15 Fällen problematisch. Noch wichtiger ist, dass alle 11 der Impulsstrategien, die statistisch signikante Prots liefern, Mittel-Horizont-Strategien sind. Um den Erfolg der Impulsstrategie im Mittelhorizont zu messen, testen wir für die gemeinsame Signik der 3- bis 12-Monats-Strategien in jedem Zeitabschnitt. Es ist nicht überraschend, dass die mittlere Horizont-Momentum-Strategie in allen Zeitperioden mit Ausnahme der Subperiode von 19261947 protable ist: Die Chi-Quadrat-Statistiken für jede der anderen vier Zeitperioden haben p-Werte von null. Während der Teilperiode 19261947 ist jedoch eine Kontrationsstrategie am mittleren Horizont erfolgreich, die Chisquare-Statistik für die gemeinsame Signik der 3- bis 12-Monats-Strategien hat einen p-Wert von 0,016. 496 Eine Anatomie der Handelsstrategien Andererseits ist der Erfolg der kontradiösen Strategien von einer Subperiode, 19261947, abhängig. Von den 10 kontradiösen Strategien, die statistisch signikante Proteste erbringen, treten vier in der Zeitspanne von 1926 bis 1947 auf und sind auch für die statistische Signik verantwortlich Der konträren Prots von vier weiteren Strategien in der gesamten 19261989 Zeitraum. In signifikanter Weise ist eine kontradi - sche Strategie in den drei Nachkriegs - Teilperioden nur zweimal statistisch protable. Wir führen erneut statistische Tests für die gemeinsame Signik der langfristigen (18- bis 36-monatigen) kontroversen Strategien durch. Die Chi-Quadrat-Statistik für die Jahre 1926-1989 unterstützt stark die Protabilität der Langzeit-Contrarian-Strategie mit einem p-Wert von Null, aber dieser Nachweis ist abhängig von einem Zeitintervall, dem Teilzeitraum 19261947. Während der p-Wert für die Chi-Quadrat-Statistik 0,009 für den Teilzeitraum 19261947 beträgt, beträgt er 0,193 für den Teilzeitraum 19481968 und 0,203 für den Zeitraum 19691989.3 Daher ist die Nettoprotabilität der Gegenstrategie auf die langfristige und Zu den Vor-1947-Daten. Dieser Beweis stimmt auch mit den Ergebnissen von Fama und French (1988) und Kim, Nelson und Startz (1991) überein, wonach diese langfristige mittlere Reversion der Preise von Wertpapierportfolios der Vorkriegszeit eigen ist. Obwohl eine kontradiktorische Strategie offensichtlich am Wochenhorizont in der Zeitspanne von 19621989 bewältigt werden kann, zeigen die jüngsten Forschungen, daß die Prothabilität von kurzfristigen Strategien falsch sein kann, weil sie durch Marktmikrostrukturvorbelastungen erzeugt wird.4 Die überzeugendsten Beweise in Tabelle 1 ergeben sich folglich Befürwortet die Impulsstrategie, die die Befürworter der Impulsstrategie unterstützt, sowohl an der Wall Street als auch unter den Akademikern Asness (1994), Grinblatt, Titman und Wermers (1994), Jegadeesh und Titman (1993,1995a) und Levy (1967) Hendricks, Patel und Zeckhauser (1993). In der jüngsten Studie über Handelsstrategien implementieren Jegadeesh und Titman (1993) 32 verschiedene 3- bis 12-Monats-Impulsstrategien über den Zeitraum 19621989 und nd jeweils protable. Auch Grinblatt, Titman und Wermers (1994) zeigen, dass etwa 77 der 155 Investmentfonds in ihrer Stichprobe dem Momentum 3 folgen. Wir schätzen alle durchschnittlichen Profite in Tabelle 1 auf das Verhalten des Marktes, das heißt, wir regressieren das Realisierte Die über die risikofreie Rate hinausgehen. Die Alphas dieser Regressionen sind typischerweise ähnlich den unbedingten durchschnittlichen Prots, die in Tabelle 1 berichtet wurden. Zum Beispiel, abgesehen davon, dass die durchschnittlichen Protes der 12-monatigen Impulsstrategie statistisch signikant sind, die durchschnittlichen Schätzungen der Prots aller anderen Strategien und ihrer statistischen Bleiben für den gesamten Zeitraum von 19261989 weitgehend unverändert. In den Teilperioden besteht der einzige bemerkenswerte Unterschied darin, dass die 24- und 36-monatigen Kontrastrategien im Teilzeitraum 19471967 und die 36-Monats-Strategie im Teilzeitraum 19681989 statistisch signikante bedingte Proteste liefern. Dieses letzte Ergebnis liefert eine gewisse Unterstützung für den Ball, Kothari und Shanken (1995), dass risikoangepasste kontradiatische Proteste relativ zu den Rohproten in der Nachkriegszeit höher sind. 4 Marktmikrostruktureffekte (zB Bid-Ask-Bounce - und Inventory-Effekte), die in Transaktionsrenditen vorhanden sind, können signifikante Proportionen der Preissenkungen erklären, die zum offensichtlichen Erfolg kurzfristiger kontradiärer Strategien führen, siehe Jegadeesh und Titman (1995b) und Conrad, Gultekin , Und Kaul (1997). Any remaining prots to these short-term strategies disappear at low levels of transaction costs even for large institutional investors see Bessembinder and Chan (1994) and Conrad, Gultekin, and Kaul (1997). 497 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 strategies, and apparently quite successfully. Momentum is also an explicit stock selection criterion for several mutual funds see Bernard (1984) and Grinblatt and Titman (1989).5 2. Sources of Prots to Trading Strategies In this section we provide a decomposition of the expected prots to returnbased trading strategies. Following Lehmann (1990) and Lo and MacKinlay (1990), the prots (losses) of the trading strategies considered in the literature (and in this article) can be directly and conveniently decomposed by taking the expectation of t (k ) in Equation (3), and again assuming that we implement momentum strategies, E t (k ) Cov Rmt (k ), Rmt 1 (k ) 1 N 1 N N Cov Rit (k ), Rit 1 (k ) i 1 N it 1 (k ) mt 1 (k )2 i 1 C1 (k ) O1 (k ) 2 (k ) P (k ) 2 (k ) (4) where P (k ) C1 (k ) O1 (k ) is the predictability-protability index, it (k ) is the unconditional mean of security i for the interval of 1 length k. and mt (k ) N iN 1 i (k ) is the unconditional single-period mean return of the equal-weighted market portfolio at time t. Under the assumption of mean stationarity of individual security returns, the above decomposition shows that total expected prots of trading strategies result from two distinct sources: time-series predictability in asset returns, measured by P (k ), and prots due to cross-sectional dispersion in mean returns of securities, denoted by 2 (k ). The rst term in P (k ) is the negative of the rst-order autocovariance of the return on the equalweighted market portfolio, denoted by C1 (k ), and is almost completely determined by cross-serial covariances of individual security returns (see Appendix) the second term, denoted by O1 (k ), is the average of rst-order autocovariances of the N individual securities included in the zero cost portfolio. Since P (k ) is entirely determined by return predictability which, in turn, forms the basis of all return-based trading strategies, we term it the predictability-protability index. Lo and MacKinlay (1990) also dene an identical protability index. However, their motivation is to deemphasize 5 For example, past research has demonstrated the abnormal protability of trading strategies that use the Value Line timeliness rankings which are based on price momentum, determined by price performance over the past 12 months see Copeland and Mayers (1982) and Stickel (1985). 498 An Anatomy of Trading Strategies the role of 2 (k ) since it has a small effect on prots to trading strategies that use weekly returns (see also Tables 2 and 4). We, on the other hand, dene P (k ) to emphasize that total expected prots to return-based trading strategies do not result entirely from time-series predictability in returns. 2.1 The random walk model Although Equation (4) provides a convenient decomposition of expected prots, we need a benchmark model for the return-generating process of nancial assets to interpret the two different potential sources of prots to trading strategies. Let us assume that all security prices follow random walks, so that returns can be depicted as Rit (k ) i (k ) it (k ) i 1. N (5) where E it (k ) 0 i. k and E it (k ) jt 1 (k ) 0 i. j. k .6 The usefulness of the random walk model in Equation (5) as a benchmark, particularly for this study, becomes obvious since trading strategies that rely on time-series predictability in returns cannot be protable by construction because Cov Rit (k ), R jt 1 (k ) 0 i. j. k .7 Equivalently, Equation (5) implies that there is no return predictability in either individual securities or across different securities, and hence the very basis of return-based trading strategies is ruled out. The model in Equation (5) also has economic appeal as a benchmark because changes in stock prices will (generally) be unpredictable in a risk-neutral world with an informationally efcient stock market see, e. g. Samuelson (1965). The most important property of the model in Equation (5), when combined with the decomposition of total expected prots in Equation (4), however, lies in the fact that it helps demonstrate that momentum (contrarian) strategies will be protable (unprotable) even if asset returns are completely unpredictable. More specically, from Equations (4) and (5) it follows that E t (k ) 2 (k ). (6) Equation (6) implies that as long as there are any cross-sectional differences in mean returns of individual securities, momentum strategies will generate prots equal to 2 (k ). Conversely, contrarian strategies will generate losses of an equal amount. Under the assumption that the mean returns of individual securities are stationary, these prots (losses) have no relation to any time-series predictability in returns. The prots in Equa6 Technically, all we need in our benchmark model is that the it s are uncorrelated but for ease of exposition, we assume a random walk model for stock prices. 7 Of course, although predictability in asset returns is a necessary condition for the success of trading strategies considered in this article, it is not a sufcient condition for abnormal gains to be reaped from these strategies. As others have pointed out, time variation in expected returns could also lead to predictability in stock returns see, e. g. Fama (1970, 1991). 499 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 Table 2 The decomposition of average prots to trading strategies Strategy interval E t (k ) P (k ) c1 (k ) o1 (k ) 2 (k ) Panel A: 19621989 0.035 1 week (23.30) 0.035 (19.95) 0.001 (18.95) 101.45 1.45 3 months 0.027 (0.67) 0.071 (1.78) 0.098 (27.22) 265.92 365.92 6 months 0.359 (4.55) 0.027 (0.34) 0.387 (31.16) 7.60 107.60 9 months 0.708 (5.81) 0.159 (1.27) 0.868 (32.75) 22.49 112.49 12 months 0.701 (4.64) 0.849 (5.44) 1.550 (35.23) 121.09 221.09 18 months 0.094 (0.35) 3.508 (12.40) 3.602 (55.41) 3,747.76 3,847.76 24 months 0.501 (0.97) 7.252 (12.61) 6.751 (51.93) 1,446.91 1,346.91 36 months 3.304 (3.39) 21.140 (17.47) 17.836 (46.08) 639.77 539.77 Panel B: 19261989 3 months 0.165 (2.42) 0.234 (3.40) 0.070 (17.95) 142.31 42.31 6 months 0.147 (1.91) 0.117 (1.53) 0.265 (18.93) 79.57 179.57 9 months 0.488 (5.48) 0.098 (1.09) 0.585 (20.10) 20.02 120.02 12 months 0.198 (1.29) 0.870 (5.32) 1.069 (20.96) 439.10 539.10 18 months 0.761 (2.88) 3.134 (11.00) 2.372 (26.06) 411.60 311.60 24 months 1.181 (2.98) 5.438 (12.36) 4.257 (27.41) 460.34 360.34 36 months 4.176 (6.48) 14.461 (29.61) 10.285 (19.18) 346.30 246.30 0.114 (13.57) 120.40 20.40 Panel C1: Subperiod I (January 1926April 1947 3 months 0.557 0.671 (2.99) (3.61) P (k ) 2 (k ) 6 months 0.204 (1.03) 0.624 (3.20) 0.420 (14.38) 305.63 205.63 9 months 0.276 (1.37) 0.668 (3.36) 0.944 (16.28) 242.19 342.19 12 months 0.557 (1.44) 2.489 (6.13) 1.932 (18.40) 446.54 346.54 18 months 2.466 (3.49) 7.033 (9.48) 4.567 (22.50) 285.16 185.16 24 months 2.831 (2.92) 11.250 (10.83) 8.419 (26.39) 397.42 297.42 36 months 7.727 (6.08) 27.882 (21.17) 20.155 (40.64) 360.84 260.84 500 An Anatomy of Trading Strategies Table 2 (continued) Strategy interval E t (k )b P (k ) c1 (k ) o1 (k ) Panel C2: Subperiod II (May 1947August 1968) 3 months 0.070 0.007 (2.91) (0.30) 2 (k ) P (k ) 2 (k ) 0.063 (10.50) 10.17 89.83 6 months 0.333 (4.97) 0.059 (0.88) 0.274 (10.15) 17.67 82.33 9 months 0.487 (5.09) 0.195 (1.73) 0.682 (9.61) 40.16 140.16 12 months 0.372 (3.80) 0.927 (5.81) 1.299 (9.41) 249.11 349.11 18 months 0.117 (0.77) 3.135 (10.02) 3.017 (10.93) 2,672.29 2,572.69 24 months 0.434 (1.62) 5.583 (10.15) 5.149 (11.39) 1,287.77 1,187.77 36 months 0.922 (1.24) 14.150 (7.99) 13.228 (11.12) 1,535.33 1,435.33 682.83 582.83 Panel C3: Subperiod III (September 1968December 1989) 3 months 0.020 0.135 0.115 (0.43) (3.00) (26.74) 6 months 0.273 (3.63) 0.171 (2.28) 0.444 (29.60) 62.84 162.84 9 months 0.634 (5.44) 0.321 (2.68) 0.955 (31.83) 50.62 150.62 12 months 0.611 (3.70) 1.041 (6.12) 1.651 (36.69) 170.44 270.44 18 months 0.444 (1.51) 3.205 (4.32) 3.649 (17.98) 721.82 821.82 24 months 0.792 (1.54) 5.854 (5.37) 6.646 (20.83) 739.50 839.50 36 months 0.873 (0.84) 19.363 (14.70) 18.490 (37.51) 2,217.74 2,117.74 This table contains the decomposition of average prots of trading strategies using NYSEAMEX stocks. The decomposition of the average dollar prots is given by E t (k ) P (k ) 2 (k ), where the predictability-protability index is given by P (k ) C1 (k ) O1 (k ), C1 (k ) is (approximately) equal to the rst-order autocovariance of the return of the equal-weighted portfolio of all securities used in the zero-cost strategy, O1 (k ) is the average rst-order autocovariance of the returns of the N individual securities in the zero-cost portfolio, and 2 (k ) measures the cross-sectional variance of the mean returns of the N individual securities. The numbers in parentheses are z-statistics that are asymptotically N (0, 1) under the null hypothesis that the relevant parameter is zero and are robust to heteroscedasticity and autocorrelation, and account for any cross-correlation in the realized prots and the realized components of prots within a horizon class (short, medium, or long horizon) strategies. All prot estimates are multiplied by 100. All protable relative-strength strategies are shown in bold, while all protable contrarian strategies are in normal print. tion (6) are realized simply because in a world where security prices follow random walks (with drifts), following a momentum strategy amounts, on average, to buying high-mean securities using the proceeds from the sale of low-mean securities. That is, although a winner (loser) can have a high 501 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 (low) realization of a return due to either being a high - (low-) mean security or due to a high (low) current shock, on average winners (losers) will be high - (low-) mean securities. Consequently, this strategy will gain from any cross-sectional dispersion in the unconditional mean returns of the securities included in the portfolio of winners and losers. Conversely, if a contrarian strategy is followed, expected prots in Equation (6) will equal 2 (k ): contrarians will lose any cross-sectional variation in mean returns by on average selling high-mean securities and buying low-mean securities with the proceeds. These prots (losses) to trading strategies will disappear only under the assumption that all securities have identical mean returns. The random walk model provides economic content to the time-series versus cross-sectional decomposition of the expected prots of return-based trading strategies. Given that all return-based trading strategies are based on time-series patterns in stock prices, an empirical implementation of the decomposition will help us determine the legitimacy of this fundamental premise of trading strategies. Note that if one were to assume that crosssectional differences in mean returns are due entirely to differences in risk characteristicsa viewpoint not uncommon even among proponents of the return-based trading strategies see, e. g. Jegadeesh and Titman (1993, 1995a) and Lehmann (1990)the empirical decomposition will help provide deeper insights into the potential efciency or inefciency of asset prices. Table 2 contains estimates of the total average prots, E t (k ), and its (k ) and 2 (k ), for all holding periods, k. and for all two components, P ve time periods, 19621989 (panel A), 19261989 (panel B), and the three subperiods (panels C1C3). The numbers in parentheses below E t (k ), P (k ), and 2 (k ) are their respective z - statistics, which are autocorrela tion and heteroscedasticity consistent and take into account cross-sectional correlations in the realized prot of all strategies among each holding-period class. The Appendix contains the exact formulae and procedures used to estimate each of the three components of total average prots. Since the empirical decomposition of the prots is critically dependent on estimates of the unconditional means of the returns of individual securities, it is important to note again that the components are estimated under the assumption that the unconditional mean return of each security is constant over the entire sample period under consideration. We estimate the unconditional means using all data in a particular time period, and calculate the components of the prots of a particular strategy in a particular period based only on the securities included in that strategy in that specic period. In addition, we conduct subperiod analyses to evaluate the effect of our strong mean stationarity assumption on our inferences the inferences remain largely unchanged. We use overlapping data to minimize small-sample biases in estimates of the components of prots to trading strategies, but we 502 An Anatomy of Trading Strategies recognize that measurement errors in in-sample mean returns could nevertheless affect our inferences (see Appendix). Consequently, we devote Section 3 entirely to empirically evaluate the extent to which measurement errors may affect our results and inferences. Clearly, since there are relatively few long-horizon (say 3-year) returns even in the 19261989 period, the decomposition results for the long-horizon strategies should be interpreted with special caution. The rst important aspect of the results in Table 2 is the signicant effect of the cross-sectional variance of mean returns, 2 (k ), on the prots of all trading strategies. Specically, the cross-sectional component of the prots is both the predominant source of prots to the momentum strategy at medium horizons, and a major source of losses to contrarian strategies at long horizons. Note that the 2 (k )s are always statistically signicantly greater than zero. To gauge the economic role of the cross-sectional dispersion in mean returns in determining the prots of the different trading strategies, con sider rst the dramatic increase in the absolute magnitude of 2 (k ) with the investment horizon in each of the ve sample periods. This nding is important to emphasize because a similar pattern would be observed in the data if security prices follow the random walk process in Equation (5) or, equivalently, even if there is no predictability in returns. Specically, given Equation (5), the expected prots from a momentum strategy applied to a trading horizon of k periods and continuously compounded returns is given by see Equation (6) E t (k ) k 2 2 (1) k 2 E t (1). (8) Equation (8) shows that the expected prots (losses) from a momentum (contrarian) strategy will increase geometrically with the holding period k because the cross-sectional dispersion of mean returns increases with the (square of the) length of the holding period (relative to the length of the base holding period). For example, given Equation (5), the cross-sectional dispersion of the means of 36-month holding period returns will be 144 times i. e. (363)2 times the cross-sectional dispersion of the means of 3-month holding period returns. An inspection of the estimates of 2 (k ) in Table 2 shows that they do increase dramatically with the investment horizon in each sample period. This nding suggests that the protability of momentum strategies at medium horizons may not be due to price continuations potentially induced by market inefciencies. Moreover, the lack of statistically profitable contrarian strategies may be because these strategies lose the crosssectional dispersion in means, with this loss being particularly severe at long horizons. 503 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 2.2 Momentum strategies Recall that the momentum strategy is usually protable at medium horizons. To evaluate the relative importance of the cross-sectional versus time-series sources of these prots, however, it is instructive to evaluate the percentage contributions of P (k ) and 2 (k ) to total prots, as well as the sign and statistical signicance of the P (k )s. Note that if stock prices follow random walks, the percentage contributions of 2 (k ) should be constant and equal to 100 see Equation (6). The evidence in Table 2 demonstrates the important role of the cross-sectional variation in mean returns, as opposed to time-series patterns in security prices, in determining the protability of momentum strategies. Of the 18 cases in which positive prots are observed for momentum strategies (see estimates in bold in Table 2), the percentage contributions of 2 (k ) are typically greater than 100. There are only two occasions on which the contribution of the cross-sectional dispersion in mean returns to momentum strategies is less than 100: the 3-month and the 6-month strategies in subperiod II, panel C.2. Even in these two cases, however, the contribution of 2 (k ) is over 80. An alternative way to evaluate the relative importance of the crosssectional versus time-series components of the prots of momentum strategies is to note that there are only two instances in which these strategies gain from continuations in asset prices, that is, the P (k )s are positive. These are (obviously) the same two cases mentioned above. However, an advantage of evaluating the relative contribution of P (k ) is that we can also determine the statistical signicance of any prots to trading strategies due to predictable time-series patterns in asset prices. The evidence shows that even in the two cases which benet from price continuations, the resulting prots are statistically indistinguishable from zero. Using our particular method of decomposing prots, the statistical signicance of medium-horizon momentum prots appears to emanate from the statistical signicance of the 2 (k )s. Given that this empirical decomposition is affected by measure ment errors in mean returns, however, our inferences at this stage should be treated with caution. 2.3 Contrarian strategies The importance of the cross-sectional dispersion in mean returns in determining the protability of trading strategies is again observed in cases where a contrarian strategy appears to work. Note that barring the weekly and the 3-month strategies, the 2 (k )s lead to substantial losses to contrarian strategies. For example, even in the seven long-term strategies that yield statistically signicant prots to a contrarian strategy, the losses due to cross-sectional dispersion in mean returns are larger than the net prots. The important role of 2 (k ) is also exemplied by the fact that there are statistically signicant prots due to the price reversals in stock prices, 504 An Anatomy of Trading Strategies especially at longer horizons, yet only a few strategies yield statistically signicant net contrarian prots. Specically, the P (k )s are statistically signicantly negative for all long-term (18- to 36-month) strategies. Yet only in less than half the cases (7 of the 15 long-term strategies) are the price reversals able to overwhelm the losses from the cross-sectional variance in mean returns and lead to statistically signicant net prots. All of this evidence appears to be an outcome of severe and unusual price movements during the 19261947 subperiod. 3. Robustness Tests: Some Simulations8 Our analysis, based on the decomposition of the prots of trading strategies, suggests that the main determinant of the prots of return-based trading strategies is the cross-sectional variation in mean returns. Contrary to the commonly held belief that forms the basis of return-based strategies, the evidence suggests that time-series patterns in security returns are unlikely to result in statistically signicant net prots to trading strategies. The decomposition of the trading prots in Table 2 is based, however, on two assumptions. First, the mean returns of individual securities are assumed to be constant over the period in which the trading strategies are implemented. Second, the cross-sectional distribution of the in-sample mean returns accurately measure the true cross-sectional variation in the mean returns. While we do not allow for time-varying mean returns that could potentially explain predictability in returns, we do attempt to address the potentially serious effects of measurement errors in in-sample mean returns by conducting several simulation exercises and providing additional evidence about the potential role of the cross-sectional differences in mean returns. The main purpose of the simulations is to analyze the protability of trading strategies using simulated returns that are devoid of any time-series patterns that may be present in the real data, while maintaining the crosssectional characteristics of each security. Conducting simulations of any trading strategy, however, involves a great deal of time and computer resources, since the returns of several thousand individual securities need to be simulated. Consequently, we chose to simulate the prots of medium-term trading strategies during the 19641989 period. We chose the medium-term strategies because they are usually protable in the real data we focus on the 19641989 period because momentum strategies are most protable during this subperiod. We rst implement the medium-term trading strategies on real data during the 19641989 period. The second column of Table 3 contains the av - 8 We thank Ravi Jagannathan for recommending the use of simulations as a robustness check for our empirical decomposition. 505 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 erage prots, with their heteroscedasticity - and autocorrelation-consistent z - statistics in parentheses, for the 3- to 12-month strategies. Not surprisingly, the prot estimates are virtually identical to the prots for the 19621989 sample period in Table 2, panel A. 3.1 Bootstrap results To gauge whether the cross-sectional variance in mean returns alone can generate the prots to medium-horizon strategies, we rst conduct bootstrap simulations in which the returns of individual securities are scrambled in an attempt to eliminate any time-series relations that may be present in the real data see Efron (1979). Specically, we generate a sample of 301 monthly returns for each stock in the sample by resampling with replacement from the actual monthly returns between (December) 1964 and (December) 1989. This bootstrap sample should eliminate any time-series properties in each securitys returns, while maintaining all the other characteristics. Specically, the cross-sectional distribution of the individual-security mean returns should be preserved. In re-creating the bootstrap sample, we preserve the missing observations because that helps us retain the exact sample size used in the actual trading strategy.9 All medium-term (3- to 12-month) strategies are implemented on the bootstrap sample, and this exercise is replicated on 500 bootstrapped samples. Table 3, panel A, contains the results from the bootstrap simulations. The rst column of panel A contains the average prots of the trading strategies, the second column contains the average t - statistics of the 500 replications, and the last column shows the p - values which measure the proportion of times the simulated mean returns are greater than the mean returns of the actual strategies shown in the second column of Table 3. The bootstrap results conrm the ndings of our decomposition analysis. The mean prots of the bootstrap strategies are always greater than the corresponding estimates in panel A and the p - values are large, ranging between 0.69 and 1.00. Moreover, the average t - statistics of all the medium-term bootstrap strategies are greater than 10 and each of the t values are signicant for each strategy in all the 500 replications.10 These results suggest that the cross-sectional properties of the returns observed 9 To maintain the cross-sectional correlation in the returns, in one of our bootstrap experiments we attempted to scramble entire vectors of returns. This created a substantial mismatch between the number of securities used in the actual trading strategy and the simulated strategy, since the resampling of vectors scrambled the missing values as well. The substantial reduction in the number of securities in the simulated sample rendered the simulated and the actual samples incomparable. Consequently, we chose to preserve the placement of missing values in scrambling the individual security returns and thus maintain the same set of securities in the simulations that are used in the actual strategy. 10 The average t - values in Table 3, panel A, are always substantially larger than the corresponding t - values of the prots of the actual strategies because of a lack of cross-sectional correlation in the bootstrapped sample. 506 0.3512 (4.52) 0.7199 (5.83) 0.7183 (4.63) 6 months 9 months 12 months t 1.4704 0.8411 0.3775 0.0988 p 24.20 1.00 21.21 0.88 17.53 0.69 11.19 1.00 Panel A E t (k ) t 1.5944 0.9220 0.4041 0.1026 p 20.06 1.00 17.96 0.88 15.56 0.82 10.93 1.00 Panel B E t (k ) t 1.4345 0.8093 0.3655 0.0935 p 22.44 1.00 20.34 0.80 16.90 0.60 10.92 1.00 Panel C E t (k ) t 1.1956 0.6608 0.2913 0.0721 1.00 p 21.93 1.00 18.96 0.24 14.81 0.07 8.87 Panel D E t (k ) t 0.0144 0.0127 0.0069 0.0015 0.07 0.00 0.07 0.00 0.26 0.00 1 1 R (k ). The where t (k ) is the dollar prot at time t from a k - period trading strategy, wit 1 (k ) N Rit 1 (k ) Rmt 1 (k ) and Rmt 1 (k ) N i 1 it 1 second column contains estimates of average prots of medium-term momentum strategies implemented on the real data from December 1964 to December 1985. The numbers in parentheses are z-statistics that are asymptotically N (0, 1) under the null hypothesis that true prots are zero and are robust to heteroscedasticity and autocorrelation. The table also contains results of several simulations, each with 500 replications. Panel A contains a bootstrap simulation in which we generate 1-month returns from the sample with replacement and then implement the four medium-term (3- to 12-month) momentum strategies. The panel also contains the t-statistics average of the 500 simulated t-values and the p-values, where these values denote the proportion of times the 500 simulated mean returns are greater than the sample mean prots of the actual strategy shown in the second column. Panels BE contain Monte Carlo simulations. In Panel B we show average prots, average t-values, and the p-values of implementing the trading strategies on randomly sampled 1-month individual security returns from normal distributions that have moments (means and variances) that match the monthly moments of the securities in the sample. Panels C and D contain estimates for trading strategies implemented on randomly sampled monthly returns generated from normal distributions that exclude the extreme 1 and 5, respectively, of the high - and low-mean securities. Panel E provides the average prots, average t-values, and p-values of trading strategies implemented on randomly sampled rms from normal distributions with identical means but variances that match the sample counterparts. All prot estimates are multiplied by 100. N p 0.16 0.05 Panel E E t (k ) This table contains average actual and average simulated prots to zero-cost trading strategies that buy NYSEAMEX winners and sell losers based on their past N w (k ) Rit (k ) i 1. N. performance relative to the performance of an equal-weighted index of all stocks. The dollar prots are given by t (k ) i 1 it 1 0.0217 (0.60) E t (k ) 3 months Strategy Interval Table 3 Average prots of actual and simulated medium-term trading strategies An Anatomy of Trading Strategies 507 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 between 1964 and 1989 alone have the potential to explain the prots of momentum strategies.11 An interesting and important aspect of the bootstrap results is the relation between the average prots of the momentum strategies and their holding periods. Specically, consistent with the prediction of the random walk model, the prots increase geometrically with the holding period, k see Equation (8) and the discussion in Section 2.2. Given the mean returns for the basic monthly measurement interval (i. e. for k 1), the relation between the average prots of the 3-month versus the 6-month and 12month strategies is virtually identical to the predictions of the random walk model: starting with an average prot of 0.099 for the 3-month strategy, there is a geometric increase to 0.378, 0.841, and 1.470 for the 6-, 9-, and 12-month strategies, respectively. This is in sharp contrast for the average prots for the real strategies reported in the second column, which increase with the holding period, but less than geometrically, and eventually exhibit no change between the 9- and 12-month strategies. This behavior in turn suggests the presence of price reversals, and not momentum, in the real data. The bootstrap results appear to conrm the ndings of the empirical decomposition of the real prots presented in Table 2. Since we do not estimate any parameters of individual-security returns in the bootstrap tests, these results should be devoid of measurement errors in mean returns present in the empirical decomposition. 3.2 Monte Carlo evidence We also conduct Monte Carlo simulations in which returns of individual securities are sampled from normal, independent, and identical distributions with moments that match the moments of the securities used in the trading strategy. We conduct these experiments for two reasons: (i) to ensure that individual security returns do not contain any time-series correlations, and (ii) to check the sensitivity of the empirical decomposition in Table 2 to measurement errors in mean returns (or specically to the extreme mean returns observed in the real data). 11 Note that all estimates in Tables 2 and 3 are prots and not returns because the strategies are zeroinvestment strategies see Equation (2a). Under the null hypothesis that stock returns follow random walks, however, the prots from the actual and simulated strategies are directly comparable. This follows because the expected value of dollar investment long (or short) see Equation (2b) is the same since it depends on the unconditional means of the returns which, in turn, are the same in the actual and each of the simulated strategies. Karolyi and Kho (1993) also conduct bootstrap and Monte Carlo experiments on momentum strategies. They simulate or shufe monthly returns to examine 6-month strategies and, like Jegadeesh and Titman (1993), rank stocks on the basis of past returns and buy (sell) equal-weighted decile portfolios of the highest (lowest) return securities. Although this portfolio method differs from ours, their results also suggest that cross-sectional variation in mean returns is importantthey nd that the average prots of the simulated zero-investment strategy, though less than the actual prots, still constitute about 80 of prots in the real data. Recall that we do not implement the Jegadeesh and Titman (1993) strategy because it does not lend itself readily to the decomposition analysis that is our main focus see the discussion in Section 1. 508 An Anatomy of Trading Strategies In the Monte Carlo simulations we generate 1-month individual security returns from independent and identical normal distributions that have means and variances that are identical to those observed in the real data. We simulate 500 such monthly series and implement the momentum trading strategy for the 3- to 12-month intervals for each set of returns. Table 3, panel B, contains the average prots, the average t - statistics, and the p - values denoting the proportion of times the 500 simulated mean returns are greater than the corresponding sample mean returns in the second column of the table. The results of this Monte Carlo experiment are similar to the bootstrap evidence in panel A. The mean prots are all greater than those witnessed in the real data, and the p - values range between 0.82 and 1.00, suggesting that the cross-sectional characteristics of the data could generate the prots of the momentum strategies. And again, the difference between the average prots of the simulated and real strategies increases signicantly with an increase in the holding period, implying that there are reversals in the real data at least at the 9- and 12-month horizons. The Monte Carlo simulations therefore suggest that in-sample crosssectional differences in individual security returns can account for the profitability of medium-term momentum strategies. To determine the robustness of the protability of the simulated strategies to extreme mean returns observed in the data, we conduct two additional Monte Carlo experiments. In these two simulations, we exclude individual securities that have extreme means (both positive and negative) from the entire simulated samples, that is, we exclude 1 and 5, respectively, of the securities based on the magnitudes of their estimated mean returns. This has the effect of reducing the estimated cross-sectional variance of mean returns of individual securities. It also provides a means of checking the sensitivity of our results to estimation error in the mean returns, since it is possible that the extreme means of individual security returns observed in the real data are an outcome of measurement errors rather than being true extreme means. Ideally a calibration of the underlying cross-sectional distribution of mean returns should be determined by an asset pricing model. However, given the lack of success of theoretical asset pricing models like the CAPM to explain the cross-section of required returns, we do not attempt such an exercise. Our simulation analysis is similar in spirit to the work of Knez and Ready (1997), who show that the size effect can be explained by 1 of the outliers in the data. The evidence from the Monte Carlo experiments that exclude 1 and 5 of the extreme-mean securities is shown in Table 3, panels C and D, respectively. These results show that excluding 1 and 5 of the extreme-mean securities from the simulation lowers the average prots at all horizons, but it does not change the basic conclusion that the success of the momentum strategies can be accounted for by cross-sectional differences in mean re - 509 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 turns of individual securities. In panel C, none of the mean prots are less than the corresponding real numbers reported in the second column of the table, and the p - values remain large, ranging from 0.60 to 1.00. In panel D, the mean prots are about 20 and 10 lower than the real prots for the 6- and 9-month strategies, respectively, but the p - values remain relatively high at 0.07 and 0.24. For the 3- and 12-month strategies the average simulated prots are substantially higher than the corresponding real prots, with p - values of 1.00. Finally, we attempt to determine whether there are any biases inherent in the Monte Carlo simulations by simulating individual security returns that have the same variances as the real data, but have identical (zero) means and no time-series relations. We again simulate 500 series of monthly returns for all the securities in our sample and implement the medium-term momentum strategies. The results of this experiment are shown in Table 3, panel E. The prots are invariably positive due to noise, but the magnitudes of the average prots are small: 0.0015, 0.0069, 0.0127, and 0.0144 for the 3- to 12-month strategies, respectively. Also, the p - values are all close to zero. These estimates are between 0.90 and 1.71 of the corresponding Monte Carlo estimates in panel B, which reect all the in-sample cross-sectional variation in mean returns. Moreover, the average t-statistics are also small, ranging between 0.073 and 0.259. Hence, the biases in the simulations appear to have a minor effect on the inferences because the protability of trading strategies is very small if there is no cross-sectional variation in the mean returns of individual securities.12 3.3 Some additional evidence and interpretation The empirical decomposition and the simulation evidence suggest that cross-sectional differences in mean returns could play an important role in determining the protability of return-based trading strategies. In this section, we provide some additional evidence and interpretation that may shed more light on this issue. The problem with the empirical decomposition is that it is based on estimates of the mean returns of individual securities that are measured with error in nite samples (see Appendix). The small-sample bias is potentially important, especially for longer horizons because we use k - period returns 12 We conduct another set of tests to check the robustness of our ndings. Specically we sort securities based on their betas before implementing the trading strategies. The prots of strategies implemented on securities sorted by beta should reduce the cross-sectional variation in mean returns, 2 (k ), and should also simultaneously increase our ability to highlight or emphasize the role (if any) of price continuations or reversals in generating prots for trading strategies. The most important general nding for the beta-sorted strategies is that, although there is a substantial reduction in the point estimates of the cross-sectional dispersion in mean returns for most holding periods, 2 (k ) continues to have an important effect on the prots of trading strategies. The contribution of 2 (k ) is again always statistically different from zero. Moreover, as in Table 2, 2 (k ) contributes high percentages of the prots of momentum strategies and it also continues to result in large losses to contrarian strategies. 510 An Anatomy of Trading Strategies to calculate the k - period mean returns (that is, 12-month returns are used to calculate 12-month mean returns). To assess the effects of small samples on the empirical decomposition of trading prots presented in Table 2, we now provide estimates of the cross-sectional variance in mean returns for all horizons in italics by alternative estimates of the cross-sectional variance in weekly mean returns. Since the number of weekly observations are large (up to 1,434 for the 19621989 period), the effects of measurement errors in mean returns on estimates of the cross-sectional variance in mean returns should be small (see Appendix). The implied estimate of the cross-sectional variance in mean returns for different horizons are calculated using the following formula see Equation (8): 2 (k ) n 2 2 (weekly) (9) where n is the number of weeks in the holding period, k. of the trading strategy (k 3 months. 36 months). The implied cross-sectional variances in Equation (9) are obtained under the assumption that returns follow stationary processes. We use three alternative samples to calculate the weekly cross-sectional variance in mean returns used in Equation (9). The rst sample is the survivor-sample of 512 rms that have no missing weekly returns during the entire 19621989 period. The cross-sectional variance in mean returns of these rms is likely to have little bias since each rms mean return is calculated using 1,434 observations (see Appendix). The weekly estimate of the cross-sectional variance reported in Table 4 is 0.000087, which is virtually identical to the estimate of 0.00009 reported in Lo and Mackinlay (1990) based on a sample of 551 survived rms for the 19621987 period, each with 1,330 observations. Although the cross-sectional variance of the mean returns of rms in this sample is likely to be measured with reasonable accuracy, it is also likely to provide a lower bound on the cross-sectional variance of the mean returns of the rms used in our trading strategies. Firms that survive the entire sample are likely to be large rms with similar mean returns and, in any event, a real time trading strategy could not be implemented on such a set of survived rms. The second sample of rms used to calculate the weekly cross-sectional variance in mean returns is the limited sample of 2,111 rms that have transaction prices for at least half (that is, 717 weeks) of the sample period. The bias in the cross-sectional variance of the mean returns of the individual securities in this sample should also be relatively small. On the other hand, however, the true cross-sectional variance in mean returns in this sample should again be less than the sample of rms used in the trading strategies. The estimated cross-sectional variance in mean returns of this sample (see Table 4) is 0.000140, which is 60 larger than the corresponding estimate for the survived sample. Some of this increase may be due to the increased effects of measurement errors, 511 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 Table 4 Implied cross-sectional variation in mean returns for different horizons based on weekly estimates Strategy interval 1 week 3 months 6 months 9 months 12 months Survivor rms ( N 512) Limited rms ( N 2,111) All rms ( N 6,524) 0.000087 0.014703 (21,56) 0.058812 (16,40) 0.132327 (19,48) 0.235248 (34,119) 0.000140 0.023660 (34,89) 0.094640 (26,64) 0.212940 (30,77) 0.378560 (54,191) 0.000535 0.090415 (129,333) 0.361660 (100,246) 0.813735 (115,295) 1.446640 (207,732) This table contains the implied cross-sectional variation in mean returns for trading strategies of different horizons based on weekly estimates for three alternative samples. The weekly cross-sectional variation of the survivor-rm sample is based on a set of 512 rms that have no missing returns during the 19621989 period, and each individual-securitys mean return is calculated using 1,434 observations. The cross-sectional variation of the limited-rm sample is based on a set of 2,111 rms that had a minimum of 717 returns during the 19621989 period, while the estimate for the all rm sample is based on all 6,524 rms that are included in the trading strategy reported in Table 1. The implied estimates of the cross-sectional variation in mean returns are obtained as 2 (k ) n 2 2 (week), where n is the number of weeks in the holding period, k. of the trading strategy. All estimates of the cross-sectional variation in weekly mean returns are multiplied by 100. The numbers in parentheses below the implied estimates of the cross-sectional variation in mean returns are the minimum and maximum percentages of the prots of trading strategies reported in Table 1 for different time periods that can be explained by the implied estimates. but some of it is likely to be due to larger differences in the true means of individual securities. The third weekly estimate of the cross-sectional variance in mean returns is 0.000535, which is for the all-rm sample of 6,524 rms used in the actual weekly trading strategy reported in Table 1. This estimate is six (four) times larger than the corresponding estimate for the survived sample (limited sample). Table 4 contains the implied cross-sectional variances in mean returns for all three samples of rms for the medium horizons (3 to 12 months). We do not report the implied estimates for the long horizons (18 to 36 months) because, even without adjusting for the cross-sectional variation in mean returns, there appear to be reversals in the long run. The numbers in parentheses below the implied cross-sectional variance in mean returns are the minimum and maximum percentages of the actual prots of trading strategies reported in Table 1 that can be explained by them. For example, the implied cross-sectional variances of 0.094640 at the 6-month horizon for the limited-rm sample can explain a minimum of 26 of the prots of the 512 An Anatomy of Trading Strategies 6-month momentum strategy in the 19621989 period, and a maximum of 64 of the prots of the 6-month trading strategy in the 19261989 period. The results in Table 4 shed some light on the relative importance of the cross-sectional variance in mean returns in determining the protability of trading strategies. Consider the most conservative estimates of the crosssectional variation in mean returns based on the survived sample. The implied cross-sectional variance can explain between 16 and 119 of medium horizon strategies implemented over the various time periods. The corresponding percentages are 26 and 191 for the limited-rms sample. Finally, the implied cross-sectional variation in mean returns for the all-rms sample is sufcient to explain the prots of all medium-horizon strategies. Hence, even if we rely solely on the most conservative estimates in Table 4, the evidence suggests that cross-sectional differences in the mean returns of securities included in trading strategies could play a nontrivial role in determining the protability of these strategies. 4. Conclusion We present an analysis of trading strategies that rely on time-series patterns in security returns. We implement the two most commonly suggested strategiesmomentum and contrarianat eight different horizons and during several different time periods. We show that less than 50 of the 120 strategies implemented in this article yield statistically signicant prots and, unconditionally, momentum and contrarian strategies are equally likely to be successful. However, there are two systematic patterns that emerge. First, the momentum strategy usually nets positive and statistically significant prots at medium horizons, except during the 19261947 subperiod. Second, the contrarian strategy is successful at long horizons, but the profits to these strategies are statistically signicant only during the 19261947 subperiod. We nd that an important determinant of the protability of trading strategies is the estimated cross-sectional dispersion in the mean returns of individual securities comprising the portfolios used to implement these strategies. This cross-sectional variance is not related to the time-series patterns in returns that form the basis of return-based trading strategies. Specically, the cross-sectional dispersion in mean returns witnessed during different time periods can potentially generate the observed prots of the most consistently protable strategy, the momentum strategy implemented at medium horizons. Our ndings, based on the empirical decomposition of prots, bootstrap and Monte Carlo simulations, and alternative estimates based on weekly returns, suggest that cross-sectional differences in mean returns play a nontrivial role in determining the protability of momentum strategies. On the other hand, although there is substantial and statistically reliable evidence of price reversals, the net prots to contrarian strategies are statis - 513 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 tically signicant primarily during one subperiod: 19261947. In all other subperiods, the consistently signicant prots from price reversals are (statistically) neutralized at least in part by the losses due to the cross-sectional dispersion in the mean returns of securities included in the strategy. These losses again appear to have no relation to time-series patterns in security returns that form the basis of trading strategies they occur because a contrarian strategy on average involves the purchase of low-mean securities from the proceeds of the sale of high-mean securities. The results of our article are clearly dependent on the assumption that the mean returns of individual securities are constant during the periods in which the trading strategies are implemented. However, our results raise the intriguing possibility that the cross-sectional variation in mean returns can simultaneously account for the prots of momentum strategies and the typical lack of success of contrarian strategies. This nding in itself may raise questions about the protability of trading strategies and the related, and more signicant, issue about the informational efciency of stock prices. Obviously, different specications of the model for unconditional required returns could affect the conclusions of our analysis. Several recent attempts at explaining the momentum effect are being made along these lines, but with mixed results see, e. g. Fama and French (1996) and Moskowitz (1997). It is also possible that more plausible models of time-varying expected returns could provide deeper insights into the potential sources of the prots of momentum strategies see, e. g. Grundy and Martin (1997) and Karolyi and Kho (1993). Appendix A.1 Estimation of the components of prots The components of total prots see Equation (4) are estimated by allowing serial covariances (both own and cross) and the cross-sectional variance of mean returns of individual securities to be time dependent. Specically, C1 (k ) T (k ) 1 C1t (k ), T (k ) 1 t (k )2 where C1t Rmt (k ) Rmt 1 (k ) 2 1 (k ) mt O1 (k ) 514 1 2 N N i 1 Rit (k ) Rit 1 (k ) it 1 (k ) 2 T (k ) 1 O1t (k ), T (k ) 1 t (k )2 An Anatomy of Trading Strategies where O1t N 1 N2 N i 1 Rit (k ) Rit 1 (k ) it()1 (k ) 2 k and 2 (k ) T (k ) 1 2 (k ), T (k ) 1 t (k )2 t where t2 (k ) 1 N N it 1 (k ) mt 1 (k )2 i 1 and T (k ) total number of overlapping returns in the sample period for a trading strategy based on holding period k. For ease of exposition, we do not have a security-related subscript on T (k ), but each security in the trading strategy will have a different number of observations. In calculating the components of the prots to trading strategies, we assume that individual security returns are mean stationary, and we calculate all sample means of security returns for each holding period k. i (k ), us ing overlapping data over the entire sample period. The t 1 subscript on it 1 (k ) and mt 1 (k ) simply denotes that these are the sample means of securities available at time t 1 to form the trading strategy portfolios see Equation (1). The only reason the mean returns of individual securities change at each portfolio formation time t 1 is because the securities included in each strategy in each period themselves change and, consequently, the mean return of the portfolio of all these securities, m (k ), also changes. Therefore, although we require mean stationarity, estimates of all components of the protslosses of trading strategies are time dependent. The use of the entire sample period to calculate the mean returns of individual securities, as opposed to calculating the means based on a rolling sample of data up to time t 1, should reduce the estimates of the cross-sectional variance in mean returns because each mean is estimated more precisely. The assumption of mean stationarity does not appear to affect our main inferences because they are robust across different sample periods. Finally, note that the minor differences between the population parameters C1 (k ) and O1 (k ) in Equation (4) and their sample counterparts are reected above in the last element of C1t (k ) and the NN 21 factor in O1t (k ). The estimators are calculated slightly differently so that C1 (k ) depends en tirely on cross-serial covariances, while O1 (k ) depends solely on own-serial covariances see also Lo and MacKinlay (1990). 515 The Review of Financial Studies v 11 n 3 1998 A.2 Small-sample biases in estimators of the components of prots It can be shown that since sample means are estimated with error in small samples, covariance estimators are downward biased see Fuller (1976). Consequently, the estimators of the components of total prots see Equation (4) are biased in small samples. Specically, E C1 (k ) C1 (k ) E O1 (k ) O1 (k ) and E 2 (k ) 2 mt 1 (k ). T (k ) N 2 i 1 it 1 (k ) 1 N 2 (k ) T (k ) 1 N. N i 1 2 2 it 1 (k ) mt 1 (k ) . T (k ) T (k ) where T (k ) is the number of returns of holding period k used to calculate trading prots, i2 is the population variance of an individual securitys 2 return, and m is the population variance of the return of the equal-weighted portfolio of all securities used in the trading strategy portfolio. Finally, it is important to note that all the small-sample biases noted above are derived under the null hypothesis that returns are independently and identically distributed. An interesting aspect of the above analysis is that the biases in the com ponents offset each other. Also, note that C1 (k ) and O1 (k ) are downward N 1 2 2 biased, but since N i 1 it 1 gt mt 1. the downward bias in O1 (k ) 1 (k ). For a momentum strategy, is greater than the downward bias in C therefore, in small samples 2 (k ) will be upward biased while the predictability-protability index, P (k ), will be downward biased by the same magnitude. This bias could be nontrivial in small samples which, in turn, could materially affect inferences about the relative importance of the sources of prots to trading strategies. Since the bias disappears as T (k ) , however, we use overlapping holding period returns at the monthly frequency for each trading strategy (except the 1-week strategy). It is important to note that the entire discussion of the small-sample biases is based on the assumption that true returns are serially uncorrelated. This assumption will result in an over - (or under-) estimate of the bias if returns are negatively (positively) serially correlated. Since measurement errors are likely to have some effects on our references even using overlapping data, we address this issue in several alternative ways in Section 3 of the article. References Alexander, S. 1961, Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random Walks, Industrial Management Review, 2, 726. Alexander, S. 1964, Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random Walks, number 2, Industrial Management Review, 5, 2546. 516 An Anatomy of Trading Strategies Allen, F. and R. Karjalainen, 1993, Using Genetic Algorithms to Find Technical Trading Rules, working paper, University of Pennsylvania. Asness, C. 1994, The Power of Past Stock Returns to Explain Future Stock Returns, working paper, University of Chicago. Ball, R. S. Kothari, and J. Shanken, 1995, Problems in Measuring Portfolio Performance: An Application to Contrarian Investment Strategies, Journal of Financial Economics, 38, 79107. 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